The website "komp-model.narod.ru." is not registered with uCoz.
If you are absolutely sure your website must be here,
please contact our Support Team.
If you were searching for something on the Internet and ended up here, try again:

About uCoz web-service

Community

Legal information

Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ И ИНТЕГРАЛОВ

Задача 1.

Исследуемый физический процесс описывается уравнением x(t) = 3t3-3t2+4. Определите первую и вторую производные функции x = x(t) момент времени 2 с. Найдите интеграл данной функции в интервале от 1 до 3 методом трапеций. Решите задачу аналитически и сравните результаты.

Алгоритм решения этой задачи АЛ-1 представлен ниже. При уменьшении шага h получающиеся значения производной и интеграла стремятся к некоторым предельным значениям, которые совпадают с аналитически найденными значениями производной y' и интеграла I функции (табл. 1).

                                  Алгоритм АЛ - 1
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ Funct:=t*t*t-t*t+3;         
----------------------
НАЧАЛО ПРОГРАММЫ
   t:=3; h:=0.001;
   y1:=Funct(t-h); y2:=Funct(t); y3:=Funct(t+h);
   ПЕЧАТЬ "Первая производная ", (y2-y1)/h
   ПЕЧАТЬ "Вторая производная ", (y1-2*y2+y3)/(h*h)
   a:=1; b:=3; t:=a; S:=0;
   ПОВТОРЯТЬ{S:=S+0.5*(Funct(t)+Funct(t+h))*h; t:=t+h;}
   ПОКА НЕ t>b;
   ПЕЧАТЬ "Интеграл  ", S
КОНЕЦ ПРОГРАММЫ

Решением задачи является программа ПР-1. При уменьшении шага точность вычислений обычно возрастает. Если же шаг очень мал, то для нахождения интеграла приходится суммировать слишком большое число слагаемых, что приводит к снижению точности. Точные значения первых двух производных и интеграла приведены в нижней строчке табл. 1.

Программа ПР-1.

Таблица 1. Результаты вычислений

Шаг Δx=hx'x''I
0,2 21,12030,00042,200
0,1 22,53030,00048,177
0,01 23,85030,00042,584
0,001 23,98530,00042,000
0,0001 23,99830,00642,000
0,00001 24,00030,26842,001
Точн. знач.24 30 42

Задача 2.

Точка движется по закону: x=3cos(t), y=2cos(3,7t+2). Вычислите координаты x, y, проекции и модули скорости vx, vy, v и ускорения ax, ay, a, нормальное aн и тангенциальное aт ускорения в моменты времени t=iΔt, i=1, 2, ...

Решением задачи является программа ПР-2.

Программа ПР-2.

Задача 3.

Имеется неоднородная пластина, ограниченная функцией y=x1/2, осью абсцисс, прямой x=2, плотность которой равна ρ(x, y)=2+0,4y+0,2x2. Найдите момент инерции пластины относительно оси Ox.

Рис. 1. К нахождению момента инерции пластины.

Вычисление момента инерции тела сводится к интегрированию по объему и нахождению суммы элементарных моментов инерции. Разобьем тело (рис. 1) на элементарные объемы dV=h·dx·dy массами dm=ρdV, имеющими моменты инерции относительно оси Ox dI=y2dm. Для нахождения суммы всех элементарных моментов инерции dI организуют два вложенных цикла, в которых перебираются и суммируются все dI (программа ПР-3).

Программа ПР-3.

Задача 4.

Решите дифференциальное уравнение первого порядка y'x-f(x, y)=0 (например, y'x-sin(x)=0) методом Эйлера. Получите семейство решений, соответствующих различным начальным условиям y0=y(0).

Запишите уравнение в конечных разностях:

dy/dx = f(x,y), (yi+1-yi)/h=f(x,y),

где h=Δ x - шаг сетки по x. Отсюда следует:

yi+1=yi+f(x,y)h.

Чтобы численно решить уравнение, необходимо переменной y присвоить значение y_0 = y(0), а затем в цикле рассчитать последующие значения yi при i = 1, 2, ... в соответствии с приведенной выше формулой. В программе ПР-4 (алгоритм АЛ - 2) решается уравнение y'x-sin(x)=0 при трех различных начальных условиях y(0) = 0, 0.5, 1. Получается семейство из трех функций, отличающихся на постоянную величину.

                                Алгоритм АЛ-2
ДЛЯ j:=0 ДО 3 ДЕЛАТЬ {-              
  dx:=0.01: y:=.5*j
  ДЛЯ i:=1 ДО 1000 ДЕЛАТЬ {--
    FNN:=sin(x); x:=i*dx; y:=y+FNN*dx;
    ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y) --} -}

Используемая программа ПР-4 представлена ниже. Результаты ее использования -- на рис. 2.

Программа ПР-4.

Рис. 2. Решение дифференциального уравнения

Задача 5.

Тело ограничено поверхностями z1=f(x,y), z2=f(x,y). Зависимость плотности от координат ρ=ρ(x,y,z) известна. Методом Монте-Карло определите объем, массу и положение центра масс тела.

Рис. 3. К вычислению массы, объема и координат центра масс тела

Пусть тело ограничено поверхностями z1=1-1,3x2-y2, z2=x2-1 (рис. 3). Плотность тела задается соотношением: если x>-0,1, то ρ=3y + 5z + 10, иначе ρ=20. Опишем вокруг тела куб, стороны которого перпендикулярны осям координат и пересекают их в точках 1 и -1. Случайным образом наполним куб большим количеством точек (106) с координатами x, y, z. Подсчитаем количество точек nt, попавших внутрь тела, тогда объем тела во столько раз меньше объема куба (который равен 4 м3), во сколько раз число nt меньше общего числа точек N.

Чтобы определить массу и координаты центра масс, учтем, что на каждую точку приходится элементарный объем dV=4/N. Поэтому будем умножать dV на плотность ρ в данной точке, получающиеся элементарные массы складывать. Так мы найдем массу тела msum. Для нахождения координат центра масс:

xsum:=xsum+rho*dV*x; ysum:=ysum+rho*dV*y;
zsum:=zsum+rho*dV*z; msum:=msum+rho*dV; end;
xc:=xsum/msum; yc:=ysum/msum; zc:=zsum/msum;

Решением задачи является программа ПР-5.

Программа ПР-5.

Задача 6.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка y''x-f(x,y,y'_x) = 0 (например, y''x+y'x+1,2y - 5sin(x) = 0) методом Эйлера. Начальные условия yx(0), y'x(0).

Дифференциальное уравнение второго порядка представимо в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:

В программе ПР-6 создан цикл по i, в котором пересчитываются значения yi, y'i и решается уравнение y''x+y'x+1,2y-5sin(x)=0 (алгоритм АЛ-3). Результаты решения -- на рис. 4.

y = 20: dx = 0.01                            АЛ - 3
ДЛЯ i = 1 ДО 5000 ДЕЛАТЬ {-      x = x + dx
    pr2y = 5 * SIN(x) - .1 * pr1y - 1.2 * y
    pr1y = pr1y + pr2y * dx; y = y + pr1y * dx
    ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)      -}

Программа ПР-6.

Рис. 4. Решение дифференциального уравнения

Задача 7.

Решите дифференциальное уравнение первого порядка вида y'x-f(x,y) = 0 методом Рунге - Кутта четвертого порядка.

Сущность метода Рунге - Кутта четвертого порядка выражается следующими формулами:

Организуем цикл по i, в котором вычисляются значения функции y(x) по этой схеме. Например, для решения уравнения y'x-2sin(x)+0.5/y=0 используется алгоритм АЛ-4.

                                         АЛ - 4
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ FNN (x, y) = 2 * SIN(x) + .5 / y
--------------------------------
y = 1: dx = .01
ДЛЯ i = 1 ДО 1500 ДЕЛАТЬ {-  
  x = i * dx; k1 = FNN(x, y);
  k2 = FNN(x + dx / 2, y + dx * k1 / 2)
  k3 = FNN(x + dx / 2, y + dx * k1 / 2)
  k4 = FNN(x + dx, y + k3)
  y = y + dx / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
  ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)             -}

Этот алгоритм реализован в программе ПР-7. Результат -- на рис. 5.

Программа ПР-7.

Рис. 5. Решение диффуравнения методом Рунге - Кутта

Задача 8.

Решите дифференциальное уравнение второго порядка y''x-f(x, y, y'x)=0 методом Рунге - Кутта четвертого порядка. Начальные условия yx(0), y'x(0).

Записывают данное уравнение в виде системы двух дифференциальных уравнений первого порядка и используют рассмотренную выше схему Рунге - Кутта. Используется алгоритм АЛ-5.

                               Алгоритм АЛ-5
ЗАДАТЬ ФУНКЦИЮ FNN1 (x, y, pr1) = SIN(x) - 
                          .25 * pr1 - .9 * SIN(y)
--------------------------------
y = 2: v = 0: dx = .01
ДЛЯ i = 1 ДО 8000 ДЕЛАТЬ {-  
   x = i * dx: k1 = FNN1(x, y, pr1)
   k2 = FNN1(x + dx / 2, y, pr1 + dx * k1 / 2)
   k3 = FNN1(x + dx / 2, y, pr1 + dx * k2 / 2)
   k4 = FNN1(x + dx, y, pr1 + k3)
   pr1 = pr1 + dx / 6 * (k1 + 2 * k2 + 2 * k3 + k4)
   y = y + pr1 * dx
   ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ С КООРДИНАТАМИ (x, y)        -}

Программа ПР-8 позволяет решить уравнение y''x+0,25y'x + 0,9sin(y)=sin(x). Результаты представлены на рис. 6.

Программа ПР-8.

Рис. 6. Решение диффуравнения методом Рунге - Кутта

Задача 9.

Определите силу гравитационного притяжения, действующую со стороны шарообразного тела радиуса R, на материальную точку массой m, находящуюся на расстоянии z' от центра. Плотность шара ρ(r)=100/r, где r - расстояние от его центра.

Рис. 7. К расчету взаимодействия шара и точки

Распределение плотности шарообразного тела, а значит, и его гравитационное поле обладают центральной симметрией, поэтому задачу следует решать в сферической системе координат (рис. 7). Результирующая сила может быть найдена по формулам:

где i = 1, 2, ... , n, n - число элементарных масс Δmi, li=z'-r cosθi. Программа ПР-9 для расчета искомой силы F содержит вложенные друг в друга цикл по r, цикл по φ и цикл по θ, позволяющие перебрать все элементарные массы тела, рассчитать и просуммировать проекции сил ΔF на ось Oz.

Программа ПР-9.

Задача 10.

Определите силу гравитационного притяжения, действующую между неоднородным диском радиусом R, толщиной h и однородным стержнем массой m1, концы которого имеют координаты a и b>R. Зависимость плотности диска от координаты: ρ(r)=100/r, где r - расстояние от его центра O.

Рис. 8. К расчету взаимодействия диска и стержня

Распределение массы обладает осевой симметрией. Будем использовать полярную и декартовую системы координат (рис. 8). Разобьем диск на n элементарных объемов ΔV=rh ΔφΔr с координатами xi=r cos(φ), yi=r sin(φ) и массами Δm=ρ(r)ΔV=ρ(r) rhΔφΔr. Стержень рассмотрим как k элементарных масс Δm1=m1/k с координатами x1j=a+jΔx, где j = 1, 2, ... , k. Расстояние между Δmi и Δm1j равно dij=[(xi - x1j)2 + yi2]0,5. Проекция силы ΔFij на ось Oz равна:

В используемой программе ПР-10 перебираются все элементарные массы Δmi и Δm1i обоих тел, определяются и суммируются проекции сил притяжения на ось Oz.

Программа ПР-10.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-1.pas.


ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .

Сайт управляется системой uCoz