The website "komp-model.narod.ru." is not registered with uCoz.
If you are absolutely sure your website must be here,
please contact our Support Team.
If you were searching for something on the Internet and ended up here, try again:

About uCoz web-service

Community

Legal information

Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы

РЕШЕНИЕ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ НА КОМПЬЮТЕРЕ

Задача 1.

Имеются два кольца, центры которых лежат на одной оси, перпендикулярной содержащим их плоскостям (рис. 1). Кольца погружают в мыльный раствор и вынимают. Рассчитайте форму мыльной пленки, если радиусы колец и расстояние между их центрами известны.

Рис. 1. К вычислению профиля мыльной пленки.

Мыльная пленка принимает такую форму, при которой ее потенциальная энергия, пропорциональная площади пленки, минимальна. Таким образом, задача состоит в нахождении формы мыльной пленки, соответствующего минимуму потенциальной энергии. Очевидно, что мыльная пленка примет осесимметричную форму, однозначно определяемую функцией y=y(x), задаваемой с помощью массива yi=y(xi), где xi=iΔx и Δx=l/N. Площадь поверхности фигуры вращения можно найти по формуле:

Для решения этой задачи используется программа ПР-1. Сначала задаются заведомо большие значения yi=y(xi). В процедуре Ploshad осуществляется вычисление площади мыльной пленки. Затем перебираются все значения yi=y(xi) и уменьшаются на малую величину 0.0001. При этом каждый раз вычисляется новое значение площади S1. Если при этом площадь уменьшается, то изменение yi=y(xi) принимается, а если нет - отвергается. Все это многократно повторяется, результаты вычислений выводятся в виде графика на экран. Получающийся результат при различных радиусах колец и расстояниях между ними представлен на рис. 2. Можно убедиться в том, что когда расстояние между кольцами превышает некоторое критическое значение, устойчивого состояния, соответствующего минимуму потенциальной энергии, не существует.

Программа ПР-1.

Рис. 2. Результаты вычислений профиля мыльной пленки.

Задача 2.

Имеется неоднородная нить. Какую форму она примет в однородном поле тяжести, если концы ее закрепить в фиксированных точках.

Нить примет форму, при которой ее потенциальная энергия минимальна. Мысленно заменим нить совокупностью материальных точек с массами mi, которые связаны друг с другом пружинками жесткостью k и длиной b. Расстояние между соседними частицами и потенциальная энергия всей системы определяются уравнениями:

Допустим, правый конец нити привязан математическому маятнику длиной b1 и массой mN. Заменим нить маятника пружиной жесткостью k, тогда к потенциальной энергии системы следует прибавить величину:

Используется программа ПР-2. В ней последовательно перебираются материальные точки mi, случайным образом изменяются их координаты, и каждый раз вычисляется получающееся значение потенциальной энергии системы. Если при смещении данной частицы потенциальная энергия уменьшилась, то это новое состояние системы принимается, иначе - отвергается. Результат моделирования представлен на рис. 3.

Программа ПР-2.

Рис. 3. Результат вычисления формы нити

Задача 3.

Имеется неоднородная цепь, ее концы закреплены в некоторых точках. К заданной точке цепи привязана невесомая нить, которая перекинута через неподвижный блок и привязана к грузу известной массы M.

Как и при решении задачи 2, заменим цепь совокупностью материальных точек, соединенных пружинами жесткостью k и длиной b. Пусть блок имеет небольшие размеры и его координаты равны X и Y, а перекинутая через него нить привязана к k-й материальной точке с координатами xk и yk. Тогда при расчете потенциальной энергии системы следует учесть потенциальную энергию груза массы M:

Если к некоторой i-й точке цепи привязан груз известной массы (без блока), то при расчете формы цепи необходимо увеличить массу i-й точки на массу груза. Во всем остальном задача решается аналогично предыдущей задаче 2: случайным образом на небольшие величины изменяются координаты частиц, вычисляется потенциальная энергия системы, определяется положение системы, при которой потенциальная энергия минимальна (программа ПР-3). Результат решения - на рис. 4.

Программа ПР-3.

Рис. 4. Результат вычисления формы нити.

Задача 4.

Рассчитайте форму длинной упругой пластины, находящейся в однородном поле тяжести (рис. 5). Пластина неоднородная, один ее конец закреплен.

Рис. 5. К вычислению формы упругой пластины

Пластину представим как систему материальных точек m[i], связанных недеформируемыми стержнями длиной b. При изгибе пластины изменяются угол φ[i] и координаты x[i], y[i]. Потенциальная энергия системы равна:

В используемой программе ПР-4 реализуется следующий алгоритм. Последовательно перебираются материальные точки m[i] и случайным образом изменяются углы φ[i]. Каждый раз пересчитывается энергия системы. Если она увеличилась, то эта конфигурация отвергается, а если уменьшилась -- принимается. В результате определяется устойчивое состояние равновесия системы, соответствующее минимуму потенциальной энергии. На рис. 6 представлены результаты расчетов для неоднородного стержня (жесткости левой и правой половин различны), к концу которого прикреплен груз (масса m[N] в 5 раз больше масс других материальных точек).

Программа ПР-4.

Рис. 6. Изгиб неоднородного стержня с грузом на конце.

Задача 5.

Показатель преломления неоднородной среды зависит от координат: n=n(x,y). Используя принцип Ферма, рассчитайте траекторию распространения светового луча из фиксированной точки A в фиксированную точку B, оптическая длина которой минимальна.

Согласно принципу Ферма свет распространяется по пути, оптическая длина которого минимальна (экстремальна). Рассмотрим сетку, состоящую из вертикалей, пересекающих ось абсцисс в точках xi=iΔx, i=0,1,2,..,N. Траектория аппроксимируется ломаной, пересекающей линии сетки в точках y1=y(x1), y2=y(x2), y3=y(x3)... yN=y(xN). Оптическая длина пути такой траектории определяется формулой:

Будем случайным образом варьировать величины yi=y(xi), каждый раз определяя изменение оптической длины пути L. Если вариация yi вызывает уменьшение оптической длины пути, то она принимается, а в противном случае, -- отвергается. Используется программа ПР-5, результат ее работы -- представлен на рис. 7.

Программа ПР-5.

Рис. 7. Распространение света в неоднородной среде

Задача 6.

Рассчитайте форму капли жидкости, лежащей на горизонтальной поверхности в поле тяжести, для случаев: а) жидкость смачивает поверхность; б) жидкость не смачивает поверхность.

На жидкость действуют силы тяжести и поверхностного натяжения. Капля принимает форму, при которой ее потенциальная энергия минимальна. Форму капли будем аппроксимировать телом вращения, полученного в результате вращения эллипсоида, нижняя часть которого срезана (рис. 8). Уравнение осевого сечения капли имеет вид:

Площадь поверхности капли и ее потенциальная энергия равны:

Влияние сил поверхностного натяжения зависит от коэффициента K2, который больше 0. Если жидкость смачивает поверхность, то K1 из [-1, 0], а если не смачивает, то K1 из [0, -1]. При изменении формы капли следует вычислять ее объем по формуле:

В программе ПР-6 случайно изменяются параметры a и c, а b вычисляется так, чтобы объем капли оставался неизменным. Принимаются такие значения, при которых потенциальная энергия системы минимальна. Результаты представлены на рис. 8.

Программа ПР-6.

Рис. 8. Вычисление формы капли на поверхности.

Задача 7.

Рассчитайте форму свободной поверхности жидкости, налитой в цилиндрический сосуд для случаев: а) жидкость смачивает поверхность; б) жидкость не смачивает поверхность.

Рис. 9. Расчет поверхности жидкости в сосуде.

Свободная поверхность жидкости симметрична относительно вертикальной оси. Разобьем жидкость на элементарные объемы в виде трубок радиусом xi и толщиной стенок dx (рис. 9.1). Площадь поверхности жидкости (свободная поверхность + стенки без дна) равна:

Объем всей жидкости и ее потенциальная энергия находятся по формулам:

Алгоритм решения такой же, как и в предыдущей задаче: случайным образом изменяются значения y[x] (x - целое) и вычисляется потенциальная энергия при фиксированном объеме. Если в результате такой процедуры потенциальная энергия системы увеличивается, то произошедшие изменения отвергаются, а если уменьшилась, то принимаются. Программа ПР-7 приведена ниже. Результат решения - на рис. 9.2.

Программа ПР-7.

Задача 8.

Рассчитайте форму свободной поверхности жидкости в цилиндрическом сосуде с вертикальным стержнем для случаев: а) жидкость смачивает стержень; б) жидкость не смачивает стержень.

Задача решается аналогично предыдущей. Учитывается только смачивание стержня. Используется программа ПР-8. Получающиеся результаты приведены на рис. 10.

Рис. 10. Поверхность жидкости в сосуде со стержнем.

Программа ПР-8.

Задача 9.

Рассчитайте форму свободной поверхности жидкости, налитой в цилиндрический сосуд со стержнем для случаев: а) жидкость смачивает поверхности стенок; б) жидкость не смачивает стенки.

Эта задача решается аналогично предыдущим. Результаты приведены на рис. 11.

Рис. 11. Расчет формы поверхности жидкости.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-10.pas.


ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .

Сайт управляется системой uCoz