The website "komp-model.narod.ru." is not registered with uCoz.
If you are absolutely sure your website must be here,
please contact our Support Team.
If you were searching for something on the Internet and ended up here, try again:

About uCoz web-service

Community

Legal information

Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Задача 1.

Электрическая цепь (рис. 1) состоит из источника постоянной ЭДС E=200 В, резистора R1=400 Ом и нелинейного элемента, вольт-амперная характеристика которого может быть аппроксимирована многочленом третьей степени i(u)=2+5u-0,18u2+0,002u3. Рассчитайте ток в цепи.

Рис. 1. Расчет нелинейной цепи

Вольт-амперные характеристики обоих элементов изображены на рис. 1 (ВАХ резистора повернута вокруг оси ординат и смещена на E). Напряжение на нелинейном элементе равно U=E-IR1, поэтому для нахождения искомого тока I следует решить нелинейное алгебраическое уравнение:

Чтобы решить уравнение, необходимо определить количество корней и локализовать их, то есть установить интервалы, внутри которых находится каждый корень. Воспользуемся графическим методом, для этого построим график функции:

, найдем точку его пересечения с осью абсцисс, для которой F(I)=0. Она лежит в интервале 0,2 - 0,4 мА. Самым простым способом решения подобных уравнений является табулирование функции F(I). Это может быть реализовано с помощью алгоритма A - 1 (программа ПР-1). При запуске программы на экран выводятся те значения тока, для которых функция F(I) по модулю меньше чем ε =0,01, т. е. близка к нулю. Это позволяет уменьшить неопределенность в нахождении корня до 0,01, корень уравнения лежит в интервале от 2,960 до 2,965. Ответ: ток примерно равен 2,962 А.

Программа ПР-1.

Другой способ решения уравнения F(x)=0 состоит в использовании метода половинного деления. Задается интервал [a0, b0], содержащий корень. График функции y=F(x) должен пересекать ось абсцисс внутри интервала, на его границах функция имеет противоположные знаки, в чем можно убедиться, проверив условие F(a0)F(b0)<0. Отрезок [a0, b0] делится точкой с=(a+b)/2 пополам. Если F(c) = 0, то значение x = c и есть корень уравнения. В противном случае из двух отрезков [a0,c] и [c,b0] выбирается тот, внутри которого график y = F(x) пересекает ось абсцисс. Для этого снова проверяется условие F(c)F(b0)<0, если оно выполняется, то a1=c, b1=b0. После этого осуществляется следующая итерация: отрезок [a1, b1] снова делится пополам и т.д. Так продолжается до тех пор, пока длина отрезка [ai, bi] не окажется меньше заданной точности ε.

Используется программа ПР-2. Понятно, что ток в цепи не может превышать значение E/R1, поэтому в качестве нулевого приближения к корню выберем интервал [0, E/R1]. В результате последовательности итераций при ε=0,0000001 получается корень уравнения 2,96296. Округляя до четырех значащих цифр, получаем: ток равен 2,963 А.

Программа ПР-2.

Задача 2.

Напишите программу, рассчитывающую сопротивление цепи, состоящей из бесконечной цепочки резисторов R1=80 Ом и R2=100 Ом (рис. 2).

Рис. 2. Схема из бесконечной цепочки резисторов

Найдем сопротивление участка цепи MABN из двух ветвей, участка цепи MACDBN из четырех ветвей, участка цепи MACEFDBN из шести ветвей. Обобщим получающуюся формулу:

Программа ПР-3 последовательно вычисляет сопротивление Z1, Z2, Z3, ... и результат выводит на экран. Получающиеся значения стремятся к величине 138 Ом.

Программа ПР-3.

Задача 3.

Напишите программу, решающую систему из N линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим алгоритм, позволяющий решать систему из n линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, имеющую следующий вид:

От этой системы перейдите к матрице из элементов ai,j, где i=1, 2, ... , n и j=1, 2, ... , n+1.

Приведите данную матрицу к треугольному виду. Чтобы исключить деление на ноль, сложите левые и правые части первого и второго, первого и третьего, второго и четвертого уравнений и т. д. Первый шаг состоит в следующем: разделите все элементы каждой строки матрицы (или каждого уравнения системы) на первый коэффициент ai1, где i = 1, 2... n. Тогда все элементы ai1 из первого столбца будут равны 1. Вычтите из второго, третьего и последующих уравнений первое. Матрица коэффициентов приобретет вид:

где a'i,j=ai,j/ai1- a1j/a11, где i=1, 2, ... , n и j = 1, 2... n + 1. После этого сделаем второй шаг: разделим вторую, третью и последующие строки матрица на соответствующие коэффициенты ai2, после чего вычтем из третьей, четвертой и последующих строк вторую строку. Получим:

где a''ij=a'ij/a'i1- a'1j/a'11, где i = 1, 2... n и j = 1, 2... n + 1. После n-го шага получим матрицу треугольного вида:

Искомые значения находятся по формулам:

Желательно, чтобы программа осуществляла проверку решения, подставляя найденные значения x1, x2... в исходную систему уравнений. Текст такой программы ПР-4 представлен ниже.

Программа ПР-4.

Задача 4.

Рассчитайте цепь постоянного тока, состоящую из нескольких контуров (рис. 3). Сопротивления резисторов R1=13 Ом, R2=21 Ом, R3=15 Ом, R4=8 Ом, R5=17 Ом, R6=11 Ом. ЭДС источников E1=5 В, E2=13 В, E3=9 В, E4=-6 В, E5=12 В, E6=-8 В.

Рис. 3. Электрическая цепь постоянного тока

Используя законы Кирхгофа составьте систему уравнений. Подставьте вместо сопротивлений и ЭДС конкретные значения, перенесите все члены в левую часть:

Для решения системы уравнений с n неизвестными используется программа ПР-4. На экран выводятся значения переменных и осуществляется проверка: в исходную систему подставляются найденные значения xi, i = 1, 2... n. При этом левые части уравнений обращаются в ноль, что подтверждает правильность решения. Итак, полученные значения токов: I1=0,481 А, I2=0,812 А, I3=-0,331 А, I4=-0,086 А, I5=-0,395 А, I6=0,726 А. Знак минус означает, что реальное направление тока в соответствующей ветви противоположно предполагаемому.

Задача 5.

Цепь состоит из источника переменной ЭДС и трех ветвей, в каждой из которых резистор, конденсатор и катушка индуктивности. Вторая и третья ветви соединены параллельно между собой, последовательно с ними включена первая ветвь (рис. 4). Рассчитайте все токи и напряжения, полную, активную и реактивную мощности. Постройте векторную диаграмму. Определите действующие значения всех токов и напряжений.

Рис. 4. Однофазная цепь переменного тока

Допустим, цепь имеет параметры: R1=10 Ом, L1=0.08 Гн, C1=1200 мкФ, R2=8 Ом, L2=0.42 Гн, C2=1500 мкФ, R3=14 Ом, L3=0.14 Гн, C3=1270 мкФ. Для вычисления импедансов, токов и напряжений для каждой ветви используются формулы:

Представленная ниже программа ПР-5 содержит процедуры Sum, Razn, Proizv, Delen, Modul, позволяющие определять сумму, разность, произведение, отношение двух комплексных чисел и находить модуль комплексного числа. С помощью этих процедур осуществляются расчеты комплексов тока и напряжения, комплекса мощности.

Программа ПР-5.

Задача 6.

Напишите программу, решающую систему из N линейных уравнений в комплексных числах и позволяющую рассчитать трехфазную цепь, изображенную на рис. 5.

Рис. 5. Трехфазная цепь

Изучение трехфазных цепей предполагает нахождение комплексных значений токов, что требует решения системы уравнений в комплексных числах. По законам Кирхгофа составьте систему уравнений в комплексных числах. Цепь имеет три независимых контура и два узла O и O', всего 4 ветви; получаем систему из 4 независимых уравнений:

Эта системы уравнений может быть решена путем приведения матрицы коэффициентов к треугольному виду. В используемой программе ПР-6 операции сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел осуществляются в процедурах Sum, Razn, Proizv, Delen. Сначала, чтобы исключить деление на 0, складываются второе, третье и последующие уравнения с первым. Делят элементы каждой строки матрицы на первый элемент, после чего вычитают из второй, третьей и т.д. строк первую. В результате первые элементы второй, третьей и последующих строк оказываются равными 0. Аналогичным образом приводят к 0 вторые элементы третьей, четвертой и последующих строк и т. д. Эти операции повторяют до тех пор, пока матрица не будет приведена к треугольному виду. Это позволяет вычислить искомые значения комплексов токов и осуществить проверку решения. Эта программа может быть использована для решения системы уравнений в действительных числах.

Программа ПР-6.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-5.pas.


ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .

Сайт управляется системой uCoz