The website "komp-model.narod.ru." is not registered with uCoz.
If you are absolutely sure your website must be here,
please contact our Support Team.
If you were searching for something on the Internet and ended up here, try again:

About uCoz web-service

Community

Legal information

Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

Задача 1.

Имеется пластина с прямоугольным отверстием. Правая сторона пластины теплоизолирована, остальные поддерживаются при постоянной температуре. В противоположных углах пластины расположены источник тепла и источник холода. Необходимо рассчитать распределение температуры в последовательные моменты времени.

Уравнение теплопроводности для двумерной среды в конечных разностях имеет вид:

Для расчета распределения температуры по поверхности пластины используется программа ПР-1. Она содержит цикл по времени с вложенными в него двумя циклами по i и по j, в которых перебираются все элементы пластины и вычисляются их температуры в последующие моменты времени. Результат решения задачи представлен на рис. 1, - на нем разными цветами изображены области с различными температурами. Изотермы (границы разноцветных областей) перпендикулярны теплоизолированным краям пластины и параллельны краям, температура которых поддерживается постоянной.

Программа ПР-1.

Рис. 1. Распределение температуры: двумерная среда

Задача 2.

Пластина состоит из трех полосок с различными коэффициентами теплопроводности. Нижняя сторона пластины теплоизолирована, остальные поддерживаются при постоянной температуре. В разных местах пластины расположены протяженный источник тепла и источник холода. Необходимо рассчитать распределение температуры в последовательные моменты времени.

Заменяя частные производные их конечно-разностными аппроксимациями, запишите уравнение теплопроводности для неоднородной двумерной среды в конечных разностях:

Для решения задачи используется программа ПР-2. В ней последовательно перебираются узлы двумерной сетки по строкам и по столбцам. Когда переменная naprav равна 0, то элементы перебираются по столбцам сверху вниз и снизу вверх. Когда переменная naprav равна 1, то элементы перебираются по строкам слева направо и справа налево. Нижний край пластины теплоизолирован, это задается циклом:

For i:=1 to N do t[i,M]:=t[i,M-1];

Все остальные края пластины поддерживаются при постоянной температуре. Результат работы программы представлен на рис. 2.

Программа ПР-2.

Рис. 2. Теплопроводность в неоднородной среде

Задача 3.

Имеется неоднородный стержень, известна начальная температура различных его точек, координаты и мощность источника тепла (холода). Один конец теплоизолирован, другой поддерживается при постоянной температуре. Необходимо рассчитать распределение температуры вдоль стержня.

Для решения задачи может быть использован алгоритм АЛ-1.

                                  Алгоритм АЛ-1
НАЧАЛО ПРОГРАММЫ
ДЛЯ i:=1 ДО N ДЕЛАТЬ {- 
    ЕСЛИ (i>18)И(i<22) ТО T[i]:=5 ИНАЧЕ T[i]:=0.1; -}
ДЛЯ j:=1 ДО N ДЕЛАТЬ {- 
    ЕСЛИ j>20 ТО k[j]:=1.8 ИНАЧЕ k[j]:=1; -}
ПОВТОРЯТЬ ДО НАЖАТИЯ НА КЛАВИШУ
{==   kk:=kk+1; 
ДЛЯ i:=2 ДО N-1 ДЕЛАТЬ { 
    ЕСЛИ (i>80) И (i<83) ТО q:=0.5 ИНАЧЕ q:=0;
    TT[i]:=T[i]+k[i]*(T[i+1]-2*T[i]+T[i-1])*dt/(h*h)+
    (k[i+1]-k[i-1])*(T[i+1]-T[i-1])*dt/(4*h*h)+q*dt;  }
ДЛЯ i:=2 ДО N-1 ДЕЛАТЬ { T[i]:=TT[i]; } 
T[1]:=0.1; T[N]:=T[N-1];
ЕСЛИ kk/1000=round(kk/1000) ТО { 
    ДЛЯ i:=2 ДО N ДЕЛАТЬ {-  
          ПОСТАВИТЬ ТОЧКУ (i, T[i]);  -} 
==}
КОНЕЦ ПРОГРАММЫ

В программе ПР-3 используются два массива T[i] и TT[i], в которых сохраняются значения температуры элементов стержня в моменты t и t+1 соответственно. Расчет температуры осуществляется по выведенной выше формуле в цикле. Будем считать, что длина стержня l, его коэффициент температуропроводности k при x>0,2l равен 1,8, а при x<0,2l равен 1. Температура точек с координатами от 0,18l до 0,22l равна T1; все остальные точки имеют температуру T21. Точки, координата x которых лежит в интервале от 0,81l до 0,82l, нагреваются источником тепла известной мощностью q. Левый конец поддерживается при постоянной температуре, а правый -- теплоизолирован. Результаты решения задачи при других начальных и граничных условиях представлены на рис. 3.

Программа ПР-3.

Рис. 3. Теплопроводность стержня

Задача 4.

Имеется однородная пластина, на которой расположены источник тепла и источник холода известной мощности. Один край пластины теплоизолирован, другой поддерживается при постоянной температуре. Необходимо решить уравнение теплопроводности в полярных координатах и рассчитать температуру в различных точках пластины.

Эта нестационарная задача требует решения следующего уравнения теплопроводности в полярных координатах:

В конечных разностях получаем:

Программа ПР-4.

Для решения этой задачи используется программа ПР-4. Он содержит два вложенных цикла по i и j, в которых перебираются все узлы двумерной сетки и пересчитываются значения T[i,j] на следующем временном слое. При ее запуске на экране появляется цветное изображение, границы одноцветных областей соответствуют изотермам. Пример результата вычислений приведен на рис. 4.

Рис. 4. Решение уравнения теплопроводности в полярных координатах.

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-7.pas.


ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .

Сайт управляется системой uCoz