The website "komp-model.narod.ru." is not registered with uCoz.
If you are absolutely sure your website must be here,
please contact our Support Team.
If you were searching for something on the Internet and ended up here, try again:

About uCoz web-service

Community

Legal information

Майер Р.В. Задачи, алгоритмы, программы

ВОЛНОВЫЕ И АВТОВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ

Задача 1.

Промоделируйте процесс распространения импульса в одномерной среде (струне). Изучите прохождение импульса через границу раздела двух сред с разными скоростями распространения возмущения.

Запишем одномерное волновое уравнение в конечных разностях:

Для получения движущегося профиля волны необходимо организовать цикл по i, в котором перебираются все элементы среды, вычисляются их смещения из положения равновесия. После этого стирается предыдущая моментальная фотография волны и строится новая. Все это должно находиться внутри цикла по времени (программа ПР-1). Результат моделирования прохождения волны через границу раздела двух сред приведен на рис. 1.

Программа ПР-1.

Рис. 1. Одномерная волна: отражение и прохождение через границу раздела двух сред

Задача 2.

Создайте компьютерную модель распространения волны в двумерной среде (пластине). С помощью нее изучите прохождение волны от точечного источника через границу раздела двух сред.

Запишем волновое уравнение в конечных разностях:

Для решения задачи используется программа ПР-2. Чтобы увеличить число узлов сетки, на которую разбита прямоугольная пластина, используются указатели. В двумерном массиве xi[i,j] хранятся значения смещения различных элементов среды (xi(i,j)^) и их скорости (xi(i+N,j)^) в формате single (4 байта). Чтобы исключить влияние волн, отраженных от края пластины, искусственно создается эффект затухания. Коэффициент затухания волн вблизи краев пластины считается равным r=0,2. Директива компилятора {$N+} необходима, чтобы включить математический сопроцессор. Результат моделирования прохождения волны через границу раздела двух сред приведен на рис. 2.

Программа ПР-2.

Рис. 2. Моделирование волны в двумерной среде

В представленной ниже программе ПР-3 использован другой прием: часть данных (скорости элементов среды eta) записывается в файл a.dat. Это позволяет увеличить число элементов массива xi[i,j].

Программа ПР-3.

Задача 3.

Два источника колеблются с равными частотами и постоянным сдвигом фаз, излучаемые волны создают интерференционную картину. Рассчитайте смещение точек среды, лежащих на одной плоскости с источниками в заданный момент времени.

Пусть источники имеют координаты (x1, y1), (x2, y2). Обозначьте расстояния, проходимые волнами от источников до произвольной точки с координатами (x, y) через l1, l2. Результирующее смещение этой точки в момент T можно рассчитать по формулам:

Задача решается с помощью программы ПР-4. В ней перебираются все точки экрана и вычисляются смещения; в зависимости от их величины ставится точка соответствующего цвета (рис. 3).

Программа ПР-4.

Рис. 3. Интерференционная картина

Задача 4.

Численными методами исследуйте двухкомпонентную модель автоволнового процесса. Промоделируйте распространение автоволны в одномерной среде, аннигиляцию автоволн.

Двухкомпонентная модель исходит из того, что автоволновой процесс описывается двумя величинами: концентрацией активатора и концентрацией ингибитора. Активатор вызывает протекание химической реакции, а ингибитор препятствует этому. В случае распространения огня по полю, на котором быстро растет трава, активатором является температура T: когда она достигает критической температуры возгорания tkr, трава загорается. Концентрация ингибитора u тем больше, чем больше дыма и меньше травы в данной точке плоскости. Когда концентрация ингибитора достигает порогового значения ukr (вся трава выгорает), химическая реакция прекращается.

Изменение концентраций активатора и ингибитора описывается уравнением теплопроводности (диффузии). Используйте следующую математическую модель:

Когда трава горит (t[i]>tkr и u[i]>ukr), выделяется энергия (P=2), а количество травы уменьшается (Q=-0,07). Если трава сгорела, но температура элемента активной среды еще высока (t[i]>0), температура должна быстро уменьшаться за счет охлаждения (P=-0,1). Когда элемент среды охладился (t[i]<0.2), а трава не выросла (u[i]>u0), она растет, что описывается слагаемым r*u[i]*(u0-u[i]), где r=0,003. При горении температура травы не может превышать 1,2 tkr.

Для численного решения рассмотренной выше системы двух дифференциальных уравнений необходимо заменить производные их конечно-разностными аппроксимациями и выразить t[i] и u[i] в дискретный момент времени t+1. Используется программа ПР-5. На рис. 4 и 5 представлены результаты моделирования распространения автоволны в одномерной среде и аннигиляции двух автоволн.

Программа ПР-5.

Рис. 4. Распространение одномерной автоволны

Рис. 5. Аннигиляция одномерных автоволн

Задача 5.

Методом компьютерного моделирования исследуйте процесс распространения автоволны в двумерной активной среде, огибание автоволной препятствия, образование спиральной автоволны.

Рассмотрим автоволновой процесс в двумерной активной среде на примере распространения фронта огня по полю, на котором быстро растет трава. Исходя из двухкомпонентной модели запишем дифференциальные уравнения для активатора (температуры) T и количества травы u:

Разобьем прямоугольную область на элементы, каждый из которых характеризуется величинами T[i,j] и u[i,j]. С целью увеличения числа элементов подключите математический сопроцессор, переменную T[i,j] объявите, как single, а u[i,j] как word. Используется программа ПР-6, результаты моделирования представлены на рис. 6 и 7. Чтобы получить сферическую волну, элементы внутри круга небольшого радиуса переводят в возбужденное состояние, то есть "поджигают", задавая их начальную температуру достаточно высокой. Из рис. 6 видно, как образовавшаяся автоволна огибает препятствие (группу элементов черного цвета с низкой теплопроводностью). Для получения спиральной однорукавной автоволны задают фронт волны, оборванный в центре экрана (рис. 7).

Программа ПР-6.

Рис. 6. Огибание сферической автоволной препятствия

Рис. 7. Однорукавная спиральная автоволна

Задача 6.

Имеется модель одномерной упругой среды, состоящая из осцилляторов, связанных пружинами жесткостью q (рис. 7). Каждый осциллятор представляет собой материальную точку массой m, подвешенную на пружине жесткостью k. Промоделируйте распространение волны в данной среде, убедитесь в том, что фазовая скорость в общем случае не равна групповой, т.е. имеет место дисперсия.

Рис. 7. Модель одномерной упругой среды

На каждый осциллятор рассматриваемой модели одномерной упругой среды действуют: 1) сила упругости со стороны пружины осциллятора; 2) силы упругости со стороны соседних осцилляторов; 3) силы вязкого трения. Из второго закона Ньютона следует, что ускорение θ, скорость η и смещение ξ i-го осциллятора в момент времени t + 1 могут быть найдены из формул:

Ниже представлена программа ПР-7, моделирующая распространение импульса по цепочке осцилляторов, связанных упругими связями. Она содержит цикл по времени t и вложенный в него цикл по i, в котором последовательно перебираются все осцилляторы и вычисляются их ускорения, скорости и смещения. Тут же определяется кинетическая и потенциальная энергия колеблющихся осцилляторов. На экране строится "моментальная фотография волны" (зависимость смещения ξ от координаты x в фиксированный момент времени t) и зависимость энергии осцилляторов от координаты x.

Эта компьютерная модель позволяет пронаблюдать распространение импульса, его отражение от края упругой среды, от "границы раздела двух сред". В случае, когда k = 0, импульс распространяется, не изменяя своей формы, его фазовая скорость (быстрота переноса колебаний) и групповая скорость (быстрота переноса энергии) равны (рис. 8). Если жесткость k и массу m осциллятора подобрать так, чтобы частота волны w была бы близка к его собственной частоте колебаний, то произойдет дисперсия. Импульс растягивается, фазовая скорость заметно отличается от групповой (рис. 9). Ниже приведен другой вариант программы (ПР-8) и результат ее использования (рис. 10).

Программа ПР-7.

Рис. 8. Дисперсия отсутствует. Групповая и фазовая скорости равны

Рис. 9. Групповая скорость меньше фазовой. Имеет место дисперсия

Программа ПР-8.

Рис. 10. Перемещение фазы волны в диспергирующей среде

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-8.pas.


ВВЕРХ

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .

Сайт управляется системой uCoz