Задача 1. Промоделируйте процесс распространения импульса в одномерной среде (струне). Изучите прохождение импульса через границу раздела двух сред с разными скоростями распространения возмущения.

Запишем одномерное волновое уравнение в конечных разностях:

Для получения движущегося профиля волны необходимо организовать цикл по i, в котором перебираются все элементы среды, вычисляются их смещения из положения равновесия. После этого стирается предыдущая моментальная фотография волны и строится новая. Все это должно находиться внутри цикла по времени (программа ПР-1). Результат моделирования прохождения волны через границу раздела двух сред приведен на рис. 1.

Программа ПР-1.

Рис. 1. Одномерная волна: отражение и прохождение через границу раздела двух сред

Задача 2. Создайте компьютерную модель распространения волны в двумерной среде (пластине). С помощью нее изучите прохождение волны от точечного источника через границу раздела двух сред.

Запишем волновое уравнение в конечных разностях:

Для решения задачи используется программа ПР-2. Чтобы увеличить число узлов сетки, на которую разбита прямоугольная пластина, используются указатели. В двумерном массиве xi[i,j] хранятся значения смещения различных элементов среды (xi(i,j)^) и их скорости (xi(i+N,j)^) в формате single (4 байта). Чтобы исключить влияние волн, отраженных от края пластины, искусственно создается эффект затухания. Коэффициент затухания волн вблизи краев пластины считается равным r=0,2. Директива компилятора {$N+} необходима, чтобы включить математический сопроцессор. Результат моделирования прохождения волны через границу раздела двух сред приведен на рис. 2.

Программа ПР-2.

Рис. 2. Моделирование волны в двумерной среде

В представленной ниже программе ПР-3 использован другой прием: часть данных (скорости элементов среды eta) записывается в файл a.dat. Это позволяет увеличить число элементов массива xi[i,j].

Программа ПР-3.

Задача 3. Два источника колеблются с равными частотами и постоянным сдвигом фаз, излучаемые волны создают интерференционную картину. Рассчитайте смещение точек среды, лежащих на одной плоскости с источниками в заданный момент времени.

Пусть источники имеют координаты (x1, y1), (x2, y2). Обозначьте расстояния, проходимые волнами от источников до произвольной точки с координатами (x, y) через l1, l2. Результирующее смещение этой точки в момент T можно рассчитать по формулам: Задача решается с помощью программы ПР-4. В ней перебираются все точки экрана и вычисляются смещения; в зависимости от их величины ставится точка соответствующего цвета (рис. 3).

Программа ПР-4.

Рис. 3. Интерференционная картина

Задача 4. Численными методами исследуйте двухкомпонентную модель автоволнового процесса. Промоделируйте распространение автоволны в одномерной среде, аннигиляцию автоволн.

Двухкомпонентная модель исходит из того, что автоволновой процесс описывается двумя величинами: концентрацией активатора и концентрацией ингибитора. Активатор вызывает протекание химической реакции, а ингибитор препятствует этому. В случае распространения огня по полю, на котором быстро растет трава, активатором является температура T: когда она достигает критической температуры возгорания tkr, трава загорается. Концентрация ингибитора u тем больше, чем больше дыма и меньше травы в данной точке плоскости. Когда концентрация ингибитора достигает порогового значения ukr (вся трава выгорает), химическая реакция прекращается.

Изменение концентраций активатора и ингибитора описывается уравнением теплопроводности (диффузии). Используйте следующую математическую модель:

Когда трава горит (t[i]>tkr и u[i]>ukr), выделяется энергия (P=2), а количество травы уменьшается (Q=-0,07). Если трава сгорела, но температура элемента активной среды еще высока (t[i]>0), температура должна быстро уменьшаться за счет охлаждения (P=-0,1). Когда элемент среды охладился (t[i]<0.2), а трава не выросла (u[i]>u0), она растет, что описывается слагаемым r*u[i]*(u0-u[i]), где r=0,003. При горении температура травы не может превышать 1,2 tkr.

Для численного решения рассмотренной выше системы двух дифференциальных уравнений необходимо заменить производные их конечно-разностными аппроксимациями и выразить t[i] и u[i] в дискретный момент времени t+1. Используется программа ПР-5. На рис. 4 и 5 представлены результаты моделирования распространения автоволны в одномерной среде и аннигиляции двух автоволн.

Программа ПР-5.

Рис. 4. Распространение одномерной автоволны

Рис. 5. Аннигиляция одномерных автоволн

Задача 5. Методом компьютерного моделирования исследуйте процесс распространения автоволны в двумерной активной среде, огибание автоволной препятствия, образование спиральной автоволны.

Рассмотрим автоволновой процесс в двумерной активной среде на примере распространения фронта огня по полю, на котором быстро растет трава. Исходя из двухкомпонентной модели запишем дифференциальные уравнения для активатора (температуры) T и количества травы u:

Разобьем прямоугольную область на элементы, каждый из которых характеризуется величинами T[i,j] и u[i,j]. С целью увеличения числа элементов подключите математический сопроцессор, переменную T[i,j] объявите, как single, а u[i,j] как word. Используется программа ПР-6, результаты моделирования представлены на рис. 6 и 7. Чтобы получить сферическую волну, элементы внутри круга небольшого радиуса переводят в возбужденное состояние, то есть "поджигают", задавая их начальную температуру достаточно высокой. Из рис. 6 видно, как образовавшаяся автоволна огибает препятствие (группу элементов черного цвета с низкой теплопроводностью). Для получения спиральной однорукавной автоволны задают фронт волны, оборванный в центре экрана (рис. 7).

Программа ПР-6.

Рис. 6. Огибание сферической автоволной препятствия

Рис. 7. Однорукавная спиральная автоволна

Задача 6. Имеется модель одномерной упругой среды, состоящая из осцилляторов, связанных пружинами жесткостью q (рис. 7). Каждый осциллятор представляет собой материальную точку массой m, подвешенную на пружине жесткостью k. Промоделируйте распространение волны в данной среде, убедитесь в том, что фазовая скорость в общем случае не равна групповой, т.е. имеет место дисперсия.

Рис. 7. Модель одномерной упругой среды

На каждый осциллятор рассматриваемой модели одномерной упругой среды действуют: 1) сила упругости со стороны пружины осциллятора; 2) силы упругости со стороны соседних осцилляторов; 3) силы вязкого трения. Из второго закона Ньютона следует, что ускорение θ, скорость η и смещение ξ i-го осциллятора в момент времени t + 1 могут быть найдены из формул:

Ниже представлена программа ПР-7, моделирующая распространение импульса по цепочке осцилляторов, связанных упругими связями. Она содержит цикл по времени t и вложенный в него цикл по i, в котором последовательно перебираются все осцилляторы и вычисляются их ускорения, скорости и смещения. Тут же определяется кинетическая и потенциальная энергия колеблющихся осцилляторов. На экране строится "моментальная фотография волны" (зависимость смещения ξ от координаты x в фиксированный момент времени t) и зависимость энергии осцилляторов от координаты x.

Эта компьютерная модель позволяет пронаблюдать распространение импульса, его отражение от края упругой среды, от "границы раздела двух сред". В случае, когда k = 0, импульс распространяется, не изменяя своей формы, его фазовая скорость (быстрота переноса колебаний) и групповая скорость (быстрота переноса энергии) равны (рис. 8). Если жесткость k и массу m осциллятора подобрать так, чтобы частота волны w была бы близка к его собственной частоте колебаний, то произойдет дисперсия. Импульс растягивается, фазовая скорость заметно отличается от групповой (рис. 9). Ниже приведен другой вариант программы (ПР-8) и результат ее использования (рис. 10).

Программа ПР-7.

Рис. 8. Дисперсия отсутствует. Групповая и фазовая скорости равны

Рис. 9. Групповая скорость меньше фазовой. Имеет место дисперсия

Программа ПР-8.

Рис. 10. Перемещение фазы волны в диспергирующей среде

Тексты программ находятся в zip-архиве, файл gl-8.pas.

Майер, Р. В. Задачи, алгоритмы, программы / Р. В. Майер [Электронный ресурс]. - Глазов: ГГПИ, 2012 // Web-site http://maier-rv.glazov.net .